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从历史角度讲现代数学

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从历史角度讲现代数学

算法与数学之美 算法与数学之美 2020-07-29


──推荐《普林斯顿数学指南》
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本文所讨论的现代数学发展历史主要是指在20世纪中发展起来的基础数学的历史。20世纪是数学飞速发展的世纪,数学知识出现了前所未有的爆炸。据粗略估计,全部数学的90 % 是在20世纪中创造的。如今的数学真正成为了人类知识领域中最博大精深的一个,其抽象与艰深的程度登峰造极,这对学习现代数学的人们来说形成了巨大的挑战。

中国的基础数学专业学生在学习现代基础(纯粹)数学时,接触的基本上都是高度抽象和形式化的逻辑推理体系。刻板冷漠的“定义-定理-证明-推论”四步曲格式容易使他们感到困惑,不知道如此抽象与复杂的理论是为了什么,它们到底要解决什么问题?为什么要学习与研究它们?

弄清楚教材中众多的概念和定理的证明,这只是第一步。对于学习者来说,最大的困难还在于如何正确理解和全面把握现代数学。J. L. Casti曾说:“在数学中,要讲述真理是极其困难的,数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。数学理论的真理更象是当我们在听一些专家所做的漫不经心的随口评述时,我们去捕捉专家评述的动因后才会感触到的体味,当我们最终搞清楚典型的例子时,或是当我们发现了隐藏在表面化诸问题之后的实质问题时,我们才品尝到数学之真。哲学家和精神分析学要解释,为什么我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯,而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。”[1]

H. Bass这样分析其中的原因:“数学有一个本性的趋向——利用抽象和一般化——由此而将广泛领域中的素材加以综合与提炼,形成简单而又统一的概念与方法,去处理各种各样复杂的情况。这个过程有时被称为‘压缩’,有意思的是,这种很有效的知识形成过程却对进行教学的数学家来说是一个障碍,他在这时必须担当起‘解开压缩’的角色,这样才能让那些自主研究学习能力不强的学生来逐渐理解数学。”[2]讲授现代基础数学的教材往往是在相应分支学科内已经成为经典的研究专著的一个简编。虽然在这些被公认为是必读的专著中具有一些最基本的成果和少量适用于基础课教学的启发性材料,但从总体上看,这些专著的主要目的还是为了清理该分支学科发展初期难免的混沌状态,完整精确地建立已有各结果之间的逻辑联系,并尽可能精炼地得到最一般的结果。这样做对该分支学科以后进一步的研究与发展来说是十分必要的,也是由数学的本质特性所决定的。但是,和许多两难的问题一样,这个提炼与抽象的“压缩”过程同时也切断了与以往工作的联系,即擦去了“走过的痕迹”。最后定型的概念和成熟的方法一般来说不能反映数学思想发展的实际进程,它们必定会给初学者造成理解上的极大困难。Bass所说的“解开压缩”实际上就是按照数学发展的顺序来讲授现代数学,也就是将数学思想逐步演进的历史过程与数学严格的逻辑推理过程有机地结合起来,补上必要的被舍弃的中间过程,使学生理解精炼抽象的概念与定理背后的真正内涵。

这种被称为“历史途径法” [3]的教学方法不是简单地在传统的只讲逻辑推理的课程中堆砌一些数学史料和数学家的生平故事来调节数学的枯燥叙述,而是直接在历史的框架中来讲授数学课程的内容,从而更容易抓住现代数学的本质内容。数学教育的研究已经证实数学历史的发展过程与学习者个人认识理解数学的心理程序有极明显的相似之处[4],因此历史途径法对于数学(尤其是现代基础数学)的教学有极大的帮助。为学生考虑,历史途径法一般都用历史上曾经出现过的原始数学问题来引入教学的主题,采用具体简单的素材作铺垫,从中引导出抽象的数学概念与命题,并且运用前人具有启发性的有趣朴素想法来解决一些相对简单的问题,这样可以揭示出抽象的数学概念与方法的实际内涵,并且使初学者不受纷繁复杂的表面逻辑现象的干扰。由于我们已经了解了数学后来的发展过程,所以可以选取对以后的发展来说是至关重要的思想和方法,也就是用历史发展线索在大量复杂的知识体系中找出基本的概念与方法,并且将具体的历史演进过程与学科严密的逻辑推理体系巧妙地结合起来,由浅入深地合理编排有关教学内容。H. M. Edwards说:“为了得到真正有用的想法,我们假想我们的前人从问题出发,没有经过迂回曲折的探索过程,而是合情合理地直接找到了解决的方法。在这里我想着重强调的是:虽然这种直线式的思考过程显得十分粗糙,并带有一定程度的虚构成分,但是暂时不会有什么麻烦,不必顾虑重重。”[5]在此过程中我们还可以采用今天的简洁记号和更简单的基本概念来表述历史上数学家们取得的基本成果。(包括记号演变在内的数学真正的历史其实是非常复杂的,所以严格说来,历史途径法所涉及的“历史”只能是一种简化的历史,虽然与真实的历史有一段距离,但却是教学所需要的。)

在现代数学中,许多重要的基本概念和方法都是经过了多次反复抽象和推广而得到的,所以它们在本质上是互相联系的,显示了高度的统一性。只有通过让学生不断地积累经验和进行反思,最好是能够亲自观察和体验抽象与拓广的过程,才能使他们悟出表面上完全不同的题材其实是在讨论同一件事,只不过是抽象的层次和抽象的方向不同。历史途径法在教学过程中部分地还原了数学创造的过程,让学生在学习较高层次的理论前先经历较低层次的抽象过程。这样才能让学生领悟所学知识的真正内涵,并且把握数学以后发展的方向(例如相邻分支学科之间的交叉与融合)。当然这时候一些重要结论的导出和定理的证明并不是用现代最快捷的方式得到的,定理的结论也经常不是最一般的情形。可能还要适当淡化课程理论体系的完整性,增加一些相邻学科的内容,舍弃一些次要的或技巧性比较强的内容。很多时候从表面上看好象没有用到历史材料,也不出现数学家的姓名,但是只要是从一般数学发现和学生认知学习的规律出发,来想象和还原数学发现的过程,并先在一些具体的相对比较简单的场合中总结规律,得到命题,然后再进行适当的推广,这同样也可以理解为是在“广义”地使用历史途径法。这一方面是因为数学发展的一个本质特征是,不断地从个别的具体材料抽象出一般的概念和适用面更广的方法。许多在一般(或高维)的情形成立的结论都是先从特殊(或低维)的情形得到的。另一方面,很多教学内容的创始者及相关的历史材料也是很难找到的,特别是一些常规的教学内容和小的知识点就更是如此。这时,只能对历史上数学知识的发现过程作出一些合理的推测。

历史途径法的目标是要努力达到严格推理的形式化与直观启发的非形式化之间的平衡。这样就对教师和教材的编著者提出了相当高的要求,需要具备深刻的洞察力和付出艰苦的努力(容易发现他们中有不少是有很深造诣的数学家)。有的时候,很难把具有复杂逻辑结构的学科基础知识完全纳入到历史发展的框架中来加以演绎推导,而只能部分地采用历史途径法。此外,与许多数学家喜欢的提纲挚领式的简练写作风格相反,用历史途径法写的教科书会抓住重点和关键的内容,用较长的篇幅不厌其烦地展开必要的细节叙述。

从国外已经出版的数十本用历史途径法写的现代基础数学教材的反映看,历史途径法非常有利于学生学习抽象的现代基础数学,它可以揭开现代数学的神秘面纱,降低学习的难度,使学生产生继续学习和研究的兴趣。和中学讲的初等数学以及大学本科讲的近代数学相比,历史途径法对于现代基础数学的教学帮助更大,甚至可能是不可或缺的。

由美国普林斯顿大学出版社在2008年出版的《普林斯顿数学指南》[6](The Princeton Companion to Mathematics ,以下简称《指南》)是一本帮助现代数学初学者的综合普及类工具书,篇幅达一千页。它不同于一般的百科辞典的地方是:尽量用通俗浅显的语言和历史途径法来深入浅出地解释现代数学的基本思想,而不是面面俱到,并且适当降低准确性。《指南》总共包含有“(一)引言”、“(二)现代数学的起源”、“(三)数学概念”、“(四)数学的分支”、“(五)定理与问题”、“(六)数学家”、“(七)数学的影响”和“(八)看法与建议”等八个部分。其中第一部分和第八部分是用平易的语言向学生介绍现代数学大致包含的内容、研究数学所要达到的目标以及对于学习的建议,第二和第六部分简要介绍了数学发展的历史以及重要数学家的生平,第七部分比较全面地介绍了数学对自然科学和社会科学的各种应用和影响。而介绍现代数学各主要分支的第四部分是整本《指南》最重要的部分,第三和第五部分则是进一步解释第四部分所涉及的一些现代数学最基本概念和最重要定理的具体内容。

虽然《指南》不是一本严格意义上的教科书,但是它在其第四部分介绍现代数学的主要分支学科时,按照20世纪数学历史发展的主要线索,力求通俗地介绍现代数学各主要分支学科所要解决的问题和一些有代表性的成果。为此《指南》尽量减少使用高深的专业术语,并且选取对解决研究生专业基础课教学难点有帮助的历史素材和至关重要的思想方法,努力还原被擦去的“走过的痕迹”。由于没有象教科书那样有比较严密的理论体系限制,《指南》可以更充分地利用历史途径法来深入浅出地解释现代数学主流学科中一些最基本成果的内涵。在这方面,《指南》的第四部分有点象前苏联著名数学家为普及数学知识而撰写的名著《数学——它的内容、方法和意义》[7],只不过前者是讲现代数学,后者主要是讲18与19世纪的近代数学。相比较而言,《指南》讲解现代数学的难度自然更大。此外在《指南》的第四部分极其有限的两百页左右的篇幅内(不包括介绍应用数学和计算数学),只能对现代基础数学各主要学科中极少的基本内容运用历史途径法来进行解说。

在现代基础数学众多的大大小小各种分支学科中,《指南》着重强调了数论、代数几何、拓扑、表示论等分支学科的重要性,这是特别值得我们注意的。根据20世纪数学发展的主要潮流(尤其是最近几十年的情况)和在未来的发展前途,该书认为目前现代基础数学的分支学科主要有代数数论、解析数论、代数几何、算术(代数)几何、代数拓扑、微分拓扑、参模空间、表示论、调和分析、偏微分方程和算子代数等十几门主流的分支学科。这与目前我们对现代基础数学分支学科的划分与强调有不小的差异。我们比较重视实变函数论、泛函分析、抽象代数、整体微分几何以及偏微分方程等经典学科。但是另一方面,对数论、代数几何以及拓扑等主要学科,我们缺乏必要的关注与投入。例如目前在国内数百所设置基础数学专业的高校中,开设代数几何课程的学校数不超过个位数,而迄今为止国内学者写的代数几何中文教材只有一本[8]。

如果我们将代数数论与解析数论合称为“数论”,将代数几何、算术(代数)几何与参模空间合称为“代数几何”,将代数拓扑与微分拓扑合称为“拓扑”,将表示论与调和分析合称为“表示论”,将偏微分方程与算子代数合称为“分析”,那么《指南》实际上就认为在目前现代基础数学所包含的几十个分支学科中,最主要的分支学科是数论、代数几何、拓扑、表示论和分析等五个比较大的学科。《指南》对于现代基础数学主要分支的这种强调的重要意义在于:它能帮助我们从浩如烟海的数学文献中辨别出基础数学未来进一步发展的主要方向。从20世纪数学发展的历史我们可以看到数论、代数几何、拓扑、表示论以及分析这五个主要学科已经成为整个现代数学的核心部分,联系着基础数学的各个分支,显示了强大的生命力。

下面就以数论、代数几何以及拓扑这三个主要学科为例分别对《指南》第四部分的内容及其与20世纪数学发展之间的紧密联系作一些简要的分析与说明。
 

数论

 

不少人以为数论基本上就是研究整数的初等数论,这是一个很大的误解。实际上,经过高斯、库默尔、狄利克雷、黎曼、戴德金和希尔伯特等人的努力,19世纪的数论就已经突破初等数论的范围而产生了代数数论和解析数论的基本理论。到了20世纪,数论与抽象代数、代数几何、多复变、调和分析、表示论和自守形式等学科相互促进,发展成了蔚为大观的现代数论[9]。在自身发展的同时,数论也触发了现代数学中的许多重要进展,从而在现代数学的发展中起到了领头羊作用。现代数论包括了类域论、局部域理论、函数域理论、韦依定理、模形式理论、代数簇的算术理论、近代分圆域理论、费马大定理、朗兰兹猜想、以及Arakelov几何等理论。

《指南》按照数论发展的历史途径,从古典的二次无理数逼近问题逐步引入二次代数整数环的概念,然后直接讨论其至关重要的唯一分解问题(因为试图证明费马大定理而导致人们关注这一重要问题)。为了弄清楚影响唯一分解性质的“障碍”,《指南》用具体的计算例子介绍了高斯的重要发现:即可以用二元二次型来度量二次代数整数环是否具备唯一分解的性质,以及如果不具备的话在何种 “程度”上具备。然后再开始引入戴德金非常基本的“理想”概念,将二元二次型所涉及的繁琐计算逐步转化为理想的运算,并且能非常自然地形成理想类群和理想类数这两个更抽象的概念,以便用来衡量唯一分解性质。《指南》详细介绍的另一个衡量唯一分解性质的工具是经典的椭圆模函数,它在某些代数整数上的取值也是代数整数,这就引出了克罗内克希望的将某些他感兴趣的代数数表示成某些解析函数的值的“青春之梦”。这个梦想的范围后来不断扩大,伴随着代数几何与群表示论的加入,最终导致产生了庞大的朗兰兹猜想。
 

代数几何

 

依I.R.Shafarevich的观点[10],代数几何在20世纪现代数学的发展历史中占据着一个中心的位置。这是因为在20世纪基础数学各主要分支学科的发展过程中,代数几何所起的推动作用最大,抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何以及分析中许多重要的理论都是因代数几何的需要而提出的,所以说代数几何是20世纪数学统一化的一个主要源动力。在大多数20世纪基础数学重大进步(例如获得菲尔茨奖和沃尔夫奖的工作)的背后,总能看到代数几何的影子。代数几何与数论、拓扑、抽象代数、多复变函数、复几何、代数群以及表示论等学科有着极密切的联系(常常交织在一起密不可分),只有对这些相关学科都有所涉足,才能对代数几何有比较深入的了解。因此代数几何也可以看成是一门综合性的学科,这是代数几何比较难学的主要原因。

代数几何最早起源于在17和18世纪牛顿和Bezout等人关于平面代数曲线的研究工作。到了19世纪上半叶射影几何登场后,才开始出现关于曲线和曲面的初步的代数几何理论。然后黎曼在研究阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴的黎曼面概念和代数函数的理论,打开了通向现代代数几何的大门。在这之后,分析学派、几何学派和代数学派分别用他们自己的语言进一步发展了这门不同寻常的学科。一直要等到20世纪的中叶,当整体微分几何、多复变函数、抽象代数、以及拓扑学得到充分的发展后,A. Grothendieck才有可能在这几个学派工作的基础上,用更精确的代数与拓扑工具、更先进的几何思想将经典的代数簇理论推广成适用面更广的“概形”理论,从而将代数几何打造成了一个极其完美的理论体系,促进了20世纪下半叶代数几何的大发展[11]。

代数几何的历史可以帮助我们学习与理解高度抽象的代数几何。I.R.Shafarevich在其用历史途径法编写的名著《基础代数几何》[10]中说:“类似于(生物个体发育重演该物种整体进化过程的)生物发生律,学生在重复经历了代数几何历史演变的大致过程后,将会更清楚地掌握该学科的逻辑体系。” 《指南》依照代数几何发展的历史途径,先从古老的多项式谈起(该书作者甚至认为不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科)。多项式虽然是一种非常特殊的初等函数,但是它的零点集却可以用来代表大多数的流形,因此多项式非常有用,特别是从中体现出来的代数与几何相互作用的方式,具有普遍的意义。《指南》用直观和具体的简单例子解释了最基本的Bezout定理、零点定理、以及相交重数、维数和奇点分解等基本概念。对于抽象的概形概念,《指南》也是从最经典的初看上去与几何毫无关系的(丢番图)不定方程入手,用一种简单的比喻方法解释了如何将代数簇的几何研究转化为对相关坐标环的代数研究(例如不可约簇对应于整环)。代数研究的好处是可以将有关结果进一步推广到更一般的情形,目标是实现人们长久以来希望的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。《指南》进一步指出:由于不是每个环都可以成为代数簇的坐标环,那么为什么不能发明一种广义的几何对象,使得每一个环都可以成为这种广义几何对象的“坐标环”呢?而这种新的几何对象就是著名的概形。在概形上,可以用精细的纯代数的方法来研究各种抽象的“几何性质”,这样就为解决一大批重要的经典问题开辟了道路。

这种将问题“几何化”的强有力方法也用在了许多几何与拓扑对象的分类问题中,此时所构造的概形就是参模空间。参模空间的思想方法是试图从整体的视角来研究某种数学对象。传统的方法是先通过某些特定的几何结构的计算(例如度量)来获取拓扑不变量,然后再设法证明这种计算与所选取的几何结构无关。而参模空间的新方法是同时对所有的这种类型的几何结构进行计算(例如某种积分),如果能证明收敛性,则所获得的结果自然就不依赖于特定的几何结构。微分拓扑中Donaldson理论、Seiberg-Witten理论、以及Gromov-Witten理论,还有现代数论中费马大定理的证明过程等,都要用到参模空间的这种思想方法。当然对于复杂的参模空间概念,《指南》不会直接给出其抽象的定义,而是从讨论射影平面上过原点的全体直线组成的最简单的参模空间开始,将其归结为一个线丛,这样就可以用示性类来找出有关的拓扑不变量。接下来用比较多的篇幅重点介绍了曲线的参模问题,这也是历史上的原始问题。先用一种比较简单的取商空间的比较粗略的方式给出了椭圆曲线的参模空间的概念,这个空间中的每一个点都对应了一条椭圆曲线。然后再从内蕴的黎曼面的角度来仔细地给出曲线的参模空间,因为此时每一条曲线对应了一个黎曼面。特别地,亏格为1的曲线对应了椭圆曲线,而后者可以表示成复环面。接着再将复环面与上半复平面上的点联系起来,从而得到了椭圆曲线的参模空间。《指南》还进一步介绍了亏格为g曲线的参模空间的构造方法。为简易起见,以上所有关于参模空间的讨论均不涉及概形的概念。                                         


拓扑


拓扑学主要研究在连续变形下关于几何形状的不变性质。它曾被J. Dieudonné 誉为现代数学的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中,无论是数论、抽象代数和代数几何,还是微分方程与几何分析。但是不少代数拓扑学的教材都受到“单纯同调-奇异同调-同伦”这一理论框架的束缚,不能很好地解释代数拓扑的想法来源于何处,其作用又是什么。实际上,拓扑学的基本思想来源于复变函数论(尤其是黎曼面)和经典代数几何,而在现代数学中之所以要大量使用抽象的拓扑学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要。值得我们注意的是《指南》还将整体微分几何和几何分析也纳入到了微分拓扑的范围中,这说明用整体微分几何(包括复几何)与偏微分方程的方法研究微分流形上的整体几何性质,其最后的目标指向了微分拓扑。由此我们也可以将拓扑学看成是更抽象的现代意义上的几何学。    

《指南》按照拓扑学发展的历史途径,先解释了19世纪末以“三体问题”为代表的一批经典的数学物理问题因为无法求出精确解,只能转而考虑定性的拓扑解。然后极为清楚地通俗介绍了连通性、相交数、基本群、高维的同伦群、同调群、上同调群、上同调环、向量丛、示性类以及K-理论等基本概念。例如在讲上同调环时,用历史上著名的Hopf纤维丛来说明上同调环的用处,也就是用来解决经典的计算球面同伦群的问题。在讲解微分拓扑的部分,《指南》重点介绍了微分拓扑中非常重要的微分流形的分类问题。先讲比较简单的0维、1维和2维流形。而对于比较复杂的3维流形,《指南》仔细解释了Thurston的工作,即用八种几何结构来对3维流形进行分类。接下来简单介绍了Freedman、Donaldson和Witten等人关于4维流形的著名工作,以及高于4维的流形的状况。最后《指南》还简要讲解了Hamilton和Perelman如何利用偏微分方程和黎曼几何的工具成功解决庞加莱猜想问题的大致过程。
 
 
参考文献
[1]J. L. Casti,不变量理论的两个转折点,数学译林,2001,第4期.
[2] 齐民友.从微积分的发展看微积分的教学(续三),高等数学研究,2004,第5期.
[3] 陈跃,从历史角度讲大学数学,数学教育学报,2008,第4期.
[4] 赵瑶瑶,张小明,关于历史相似性理论的讨论,数学教育学报,2008,第4期.
[5] H. M. Edwards , Fermat’s Last Theorem — A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory.  Springer-Verlag ,New York ,1977.
[6] T. Gowers (ed.) ,  The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.
[7] [苏] A. 亚历山大洛夫, 数学——它的内容、方法和意义(三卷),科学出版社,1988.
[8] 李克正,代数几何初步,科学出版社,2004.
[9]冯克勤,代数数论简史,湖南教育出版社,2002.
[10] I. R. Shafarevich , Basic Algebraic Geometry 1, Springer-Verlag, 1994. (世界图书出版公司1998年重印)
[11] J. Dieudonné , History of Algebraic Geometry ,Wadsworth,California,1985.
 
陈跃
(上海师范大学数学系, 上海, 200234)


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